函数y=sinx+3cosx+2cos2x+3sin2x的值域为 ___ ．
问题描述：
函数y=sinx+
cosx+2cos2x+
3
sin2x的值域为 ___ ．
3
答
知识点：本题考查了三角变换及三角函数的值域，解题的关键是选择恰当的公式对表达式进行变形；考查转化思想，把较复杂的函数通过换元转化成简单的二次函数，要注意函数的定义域．
y=sinx+
cosx+2cos2x+
3
sin2x
3
=2sin（x+
）+1+cos2x+π 3
sin2x
3
=2sin（x+
）-2cos（2x+π 3
）+12π 3
=2sin（x+
）-2（1-2sin2（x+π 3
）+1π 3
=4sin2（x+
）+2sin（x+π 3
）-1π 3
令t=sin（x+
），π 3
∵sin（x+
）∈[-1，1]π 3
∴t∈[-1，1]
∴y=4t2+2t-1，t∈[-1，1]
当t=-
时，ymin=-1 4
；5 4
当t=1时，ymax=5．
所以函数的值域为[-
，5]．5 4
故答案为：[-
，5]．5 4
答案解析：先利用两角和与差的公式进行化简，然后通过换元转化成二次函数求值域．
考试点：三角函数中的恒等变换应用．
知识点：本题考查了三角变换及三角函数的值域，解题的关键是选择恰当的公式对表达式进行变形；考查转化思想，把较复杂的函数通过换元转化成简单的二次函数，要注意函数的定义域．