如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由．
问题描述：
如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由．
答
知识点：考查了圆的综合题．本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题．
（1）连接OA．设OP与AB的交点为F．∵⊙O的半径为1（已知），∴OA=1．∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF=12OP=12，AF=BF（垂径定理），在Rt△OAF中，AF=OA2−OF2=12−(12)2=32（勾股定理），∴AB=2AF=3．（2）∠ACB是定值．...
答案解析：（1）连接OA．设OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA=1，OF=
，借助勾股定理可求得AF的长；1 2
（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE+∠DBA是定值，那么CAB+∠ABC就是定值，而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；
考试点：圆的综合题．
知识点：考查了圆的综合题．本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题．