如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧APB上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.(1)求弦AB的长;(2)判断∠ACB是否为定值?若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由.

问题描述:

如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧APB上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.

(1)求弦AB的长;
(2)判断∠ACB是否为定值?若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由.

(1)连接OA.设OP与AB的交点为F.
∵⊙O的半径为1(已知),
∴OA=1.
∵弦AB垂直平分线段OP,
∴OF=

1
2
OP=
1
2
,AF=BF(垂径定理),
在Rt△OAF中,AF=
OA2−OF2
=
12(
1
2
)
2
=
3
2
(勾股定理),
∴AB=2AF=
3

(2)∠ACB是定值.
理由:连接AD,BD,OA,OB,
∵DE⊥AB于点E,点D为圆心、DE长为半径作⊙D,
∴AB与⊙D相切于E点,
又∵过点A、B作⊙D的切线,
∴⊙D是△ABC的内切圆,
∵OB=1,OF=
1
2
,OF⊥AB,
∴∠FBO=30°(30°角所对的直角边是斜边的一半),
∴∠FOB=60°,
∴∠AOB=120°,
∴∠ADB=∠AOB=120°.
又⊙D是△ABC的内切圆,
∴∠DAB=
1
2
∠CAB,∠DBA=
1
2
∠CBA,
∴∠DAB+∠DBA=
1
2
(∠CAB+∠CBA)=180°-∠ADB=60°,
∴∠CAB+∠CBA=120°,
∴∠ACB的度数为60°(三角形内角和定理).
答案解析:(1)连接OA.设OP与AB的交点为F,则△OAF为直角三角形,且OA=1,OF=
1
2
,借助勾股定理可求得AF的长;
(2)要判断∠ACB是否为定值,只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值,由于⊙D是△ABC的内切圆,所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线,因此只要∠DAE+∠DBA是定值,那么CAB+∠ABC就是定值,而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角,这个值等于∠AOB值的一半;
考试点:圆的综合题.

知识点:考查了圆的综合题.本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆等知识综合在一起,需要考生从前往后按顺序解题,前面问题为后面问题的解决提供思路,是一道难度较大的综合题.