如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相
问题描述：
如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由．
答
（1）连接OA．设OP与AB的交点为F．
∵⊙O的半径为1（已知），
∴OA=1．
∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OF=
OP=1 2
，AF=BF（垂径定理），1 2
在Rt△OAF中，AF=
=
OA2−OF2
=
12−(
)2
1 2
（勾股定理），
3
2
∴AB=2AF=
．
3
（2）∠ACB是定值．
理由：连接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于点E，点D为圆心、DE长为半径作⊙D，
∴AB与⊙D相切于E点，
又∵过点A、B作⊙D的切线，
∴⊙D是△ABC的内切圆，
∵OB=1，OF=
，OF⊥AB，1 2
∴∠FBO=30°（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴∠FOB=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ADB=∠AOB=120°．
又⊙D是△ABC的内切圆，
∴∠DAB=
∠CAB，∠DBA=1 2
∠CBA，1 2
∴∠DAB+∠DBA=
（∠CAB+∠CBA）=180°-∠ADB=60°，1 2
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠ACB的度数为60°（三角形内角和定理）．