为什么在圆中截取面积最大的矩形,是正方形?

问题描述：

答

因为，在圆中截取的矩形，画对角线。
这样，矩形就是两个完全相等的直角三角形。
三角形的面积等于1/2*底*高。
因为对角线也就是圆的直径，是固定的。
三角形越高，说明面积越大。
所以，只有当三角形最高的时候面积最大。
这个三角形中，最高的高就是半径。
这样这个矩形就是正方形。
可以理解了吗？

答

直觉：都是完全对称的图形，当然是正方形大了。。。

答

设矩形两边为a,b,则有a²+b²=d²,因为矩形定点在圆上,圆周角为直角的弦为直径.
根据均值不等式,2ab小于等于a²+b²（为定值）,当且仅当a=b时取等号.即正方形时面积最大.

答

可以证明如下：
设圆的半径为R，连接矩形的两对角线，设半径与某一直角边成a角，
则矩形的面积S=2*（2Rsina)*(2Rcosa）/2=4R^2sinacosa=2R^2sin2a,显然当a=45度时，sin2a=1S值最大。此时矩形就是正方形。