在三角形ABC中,已知P为BC边垂直平分线上一点,且角PBG等于二分之一角A,BP、CP分别交AC、AB于D、E.求证：BE=CD
问题描述：
在三角形ABC中,已知P为BC边垂直平分线上一点,且角PBG等于二分之一角A,BP、CP分别交AC、AB于D、E.求证：BE=CD
答
作PG与AB交于点Q,连接QC,QC与BD交与点R
∵PG垂直平分BC,
∴所以PB=PC,∠PBC=∠PCB=∠A/2
∴∠DPC=2∠PBC=∠A
又∵∠DCP=∠ECA
∴∠AEC=180°-∠A-∠ECA=180°-∠DPC-∠DCP=∠PDC
∴△CEA∽△CDP 同理△BDA∽△BEP
∵∠PBC=∠PCB ∠PGB=∠PGC=90°
∴∠BPG=∠CPG
∴∠QPR=∠BPG=∠CPG=∠QPE
又∵QP=QP,∠PQE=PQR
∴△QEP≌△QRP
∴∠AEC=∠QEP=∠QRP=∠DRC
又∵△CEA∽△CDP
∴∠AEC=∠CDP
∴∠CDP=∠DRC
∴CR=CD
∵BE=CR
∴BE=CD