已知cosα-cosβ=b,sinα-sinβ=a(a,b为常数),则cos(α-β)=?
问题描述：
已知cosα-cosβ=b,sinα-sinβ=a(a,b为常数),则cos(α-β)=?
答
cos(α-β)=1-(b^2+a^2)/2
∵cosα-cosβ=b
∴(cosα-cosβ)^2=b^2
cos^2 α+cos^2 β -2cosαcosβ=b^2 [1]
∵sinα-sinβ=a
∴(sinα-sinβ)^2=a^2
sin^2 α+sin^2 β -2sinαsinβ=a^2 [2]
∵将[1]+[2]得：
cos^2 α+cos^2 β -2cosαcosβ + sin^2 α+sin^2 β -2sinαsinβ=b^2+a^2
2-2cosαcosβ-2sinαsinβ=b^2+a^2
2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=b^2+a^2
2-2cos(α-β)=b^2+a^2
cos(α-β)=(2-b^2-a^2)/2=1-(b^2+a^2)/2
∴cos(α-β)=1-(b^2+a^2)/2