设F是抛物线G:x2=4y的焦点. (Ⅰ)过点P(0,-4)作抛物线G的切线,求切线方程; (Ⅱ)过抛物线G的焦点F,作两条互相垂直的直线,分别交抛物线于A,C,B,D点,求四边形ABCD面积的最小值.
问题描述:
设F是抛物线G:x2=4y的焦点.
(Ⅰ)过点P(0,-4)作抛物线G的切线,求切线方程;
(Ⅱ)过抛物线G的焦点F,作两条互相垂直的直线,分别交抛物线于A,C,B,D点,求四边形ABCD面积的最小值.
答
(I)由题设切线y=kx-4(k显然存在)
又x2=4y联立得x2-4kx+16=0
∴△=0即16k2-4×16=0,解得k=±2
∴切线方程为y=±2x-4
(II)由题意,直线AC斜率存在,又对称性,不妨k>0
∴AC:y=kx+1∴x2-4kx-4=0
又x2=4y
∴x1+x2=4kx1•x2=-4
∴|AC|=
•
1+k2
=4(1+k2)
(x1+x2)2−4x1x2
同理|BD|=4[1+(−
)2]=1 k
4(1+k2) k2
∴SABCD=
|AC|•|BD|=1 2
=8(k2+2+8(1+k2)2
k2
)≥321 k2
当k=1时,“=”成立,∴Smin=32