已知函数f（x）=（x2+ax+2）ex，（x，a∈R）． （1）当a=0时，求函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程； （2）若f（x）在R上单调，求a的取值范围； （3）当a＝−5/2时，求函数f（x）
问题描述：
已知函数f（x）=（x2+ax+2）ex，（x，a∈R）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在R上单调，求a的取值范围；
（3）当a＝−
时，求函数f（x）的极小值． 5 2
答
所以函数f（x）的极小值为f（1）=
e
f'（x）=ex[x2+（a+2）x+a+2]，
（1）当a=0时，f（x）=（x2+2）ex，f'（x）=ex（x2+2x+2），
f（1）=3e，f'（1）=5e，
∴函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程为y-3e=5e（x-1），
即5ex-y-2e=0
（2）f'（x）=ex[x2+（a+2）x+a+2]，，
考虑到ex＞0恒成立且x2系数为正，
∴f（x）在R上单调等价x2+（a+2）x+a+2≥0恒成立．
∴（a+2）2-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a的取值范围是[-2，2]，
（3）当a=-
时，f（x）=（x2-5 2
x+2）ex，f'（x）=ex（x2-5 2
x-1 2
），1 2
令f'（x）=0，得x=-
，或x=1，1 2
令f'（x）＞0，得x＜-
，或x＞1，1 2
令f'（x）＜0，得-
＜x＜11 2
x，f'（x），f（x）的变化情况如下表
| X | （-∞，-
|
-
|
（-
|
1 | （1，+∞） | ||||||
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
| 1 |
| 2 |