已知二次函数f（x）满足f（-2）=0，且2x≤f（x）≤x2+42对一切实数x都成立．（1）求f（2）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）设bn=1/f(n)，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn>4n3(n+3)．
问题描述：
已知二次函数f（x）满足f（-2）=0，且2x≤f（x）≤
对一切实数x都成立．
x2+4 2
（1）求f（2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）设bn=
，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn>1
f(n)
． 4n
3(n+3)
答
（1） ∵2x≤f（x）≤
对一切实数x都成立，
x2+4 2
∴4≤f（2）≤4，∴f（2）=4．
（2） 设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．
∵f（-2）=0，f（2）=4，
∴
，可得
4a+2b+c=4 4a-2b+c=0
，
b=1 c=2-4a
∵ax2+bx+c≥2x，即ax2-x+2-4a≥0恒成立，
∴△=1-4a（2-4a）≤0⇒（4a-1）2≤0，
∴a=
，c=2-4a=1，1 4
故f(x)=
+x+1．…（7分）x2 4
（3）证明：∵bn=
=1 f(n)
>4 (n+2)2
=4（4 (n+2)(n+3)
-1 n+2
），1 n+3
∴Sn=b1+b2+…+bn>4[（
-1 3
）+（1 4
-1 4
）+…+（1 5
-1 n+2
）]=4×（1 n+3
-1 3
）=1 n+3
．4n 3(n+3)