将函数f(x)=x/(x^2-2x-3)展开成x的幂级数
问题描述：
将函数f(x)=x/(x^2-2x-3)展开成x的幂级数
- [∞∑ n=1]1/4 [ 1/3^n+(-1)^(n-1) ] x^n ,[-1 ,1]
答
就是先化成部分分式：
令f(x)=x/[(x-3)(x+1)]=a/(x-3)+b/(x+1)
去分母得：x=a(x+1)+b(x-3)
即x=(a+b)x+a-3b
对比系数得：a+b=1,a-3b=0
两式相减,得：4b=1,即b=1/4,故a=3b=3/4
因此有f(x)=1/4*[3/(x-3)+1/(x+1)]=1/3* [-1/(1-x/3)+1/(1+x)]
根据1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+.
1/(1-x/3)=1+x/3+x^2/3^2+...+x^n/3^n+.
代入即得结果.