AB皆为可对角化矩阵,且A*B也可相似对角化,则A*B得到的矩阵的特征值是否为A和B矩阵

不一定.
例如A = [1,0;0,2],B = [0,1;1,0].
A,B均可对角化,特征值分别为1,2和±1.
AB = [0,1;2,0],可对角化,但特征值为±√2.AB = BA这个条件在你说的这个证明中是很重要的, 因为其中用到结论:如果A, B均可对角化, AB = BA, 则A, B可同时对角化.即存在可逆矩阵T, 使T^(-1)AT与T^(-1)BT均为对角阵.作为对角阵, 容易知道T^(-1)ABT的特征值等于T^(-1)AT与T^(-1)BT特征值之积.即AB的特征值等于A, B特征值的乘积.值得一提的是, 如果A, B为正定阵(默认正定阵对称),但AB ≠ BA, 则AB不是对称阵, 但是仍然可以证明AB的特征值均为正实数.因为由A正定, 存在C正定(故可逆)使得A = C^2.于是AB = C^2B相似于C^(-1)(C^2B)C = CBC.但由B正定, 易见CBC是正定, 故特征值均为正实数.注意: 存在T使A, B同时对角化, 并非任意使A对角化的可逆矩阵T都使B对角化.如A = [1,0,0;0,1,0;0,0,2], B = [2,0,0;0,1,0;0,0,1].(1) 先证一个引理: 设A是V上的线性变换, W是A-不变子空间,若A在V上可对角化, 则A在W上的限制也可对角化.设A的不同特征值为λ1,..., λs, 相应的特征子空间分别为V1,..., Vs.由A可对角化, 有V = V1+...+Vs.设Wi = W∩Vi, i = 1,..., s.由Wi ⊆ W对任意i成立, 有W1+...+Ws ⊆ W.另一方面, 由V = V1+...+Vs, 对任意v ∈ W ⊆ V,存在vi ∈ Vi, i = 1,..., s, 使v = v1+...+vs.取f(x) = (x-λ2)...(x-λs)/((λ1-λ2)...(λ1-λs)).由W是A-不变子空间, 可知W也是f(A)-不变子空间, 于是f(A)v ∈ W.而可算得f(A)v = v1, 故v1 ∈ W, 即有v1 ∈ W∩V1 = W1.类似可得vi ∈ Wi, i = 1,..., s.故v = v1+...+vs ∈ W1+...+Ws, 有W ⊆ W1+...+Ws.因此W = W1+...+Ws.上式就说明W可分解为A在W上的限制的特征子空间的和,即A在W上的限制可对角化.(2) 用引理证明: 若A, B是V上可对角化的线性变换, 且AB = BA,则存在V的一组基, 使A, B在其下的矩阵同为对角阵.断言: A的任意一个特征子空间Vi, 都是B的不变子空间.对任意x ∈ Vi, 由特征子空间的定义有Ax = λi·x.而AB = BA, 故ABx = BAx = λi·Bx, 即Bx也是属于特征值λi的特征向量(或零向量).于是Bx ∈ Vi, 即Vi是B-不变子空间.B在V上可对角化, 由引理知B在Vi上的限制也可对角化.即存在B的特征向量构成Vi的一组基.而Vi是A的特征子空间, 所以上面这组基同时是A和B的特征向量.再由A在V上可对角化, 各个Vi的基合在一起构成V的一组基,即存在V的一组基, 同时是A和B的特征向量, 在这组基下A, B同时对角化.有疑问欢迎追问.不用谢.我是数学专业.