等边△OAB在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°(0<a<360)

问题描述:

等边△OAB在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°(0<a<360)
当a=30时,求△OAB与△OA1B1重合部分(图2中的阴影部分)的面积;
当A1,B1的纵坐标相同时,求a的值;
当60<a<180时,设直线A1B1与BA相交于点P,PA、PB1的长是方程x2-mx+m=0的两个实数根,求此时点P的坐标.

(1) B(1,√3)
(2)因为∠BOB1=30°
所以OB1⊥AB,AM=2-√3
则QM=√3×AM=2√3-3
则重叠部分的面积为S△AON-S△AMQ=6-3√3
(3)因为A1和B1的纵坐标相同
所以A1B1∥x轴
若A1B1在x轴下方,a=120°
若A1B1在x轴上方,a=300°
(4)作OR⊥A1B1于R,作OT⊥AB于T
由△ORP≌△OTP(HL)可得∠OPA1=∠OPA
又∠OA1P=∠OAP=120°,OA=OA1
则△OA1P≌△OAP(AAS)
所以PA=PA1
PB1=PA1+A1B1=PA+2
在方程x2-mx+m=0中,两根满足x1+x2=m x1×x2=m
则x1+x2=x1×x2,故x2=x1/x1-1
设PA=x,则PB1=x+2
令x为x1,x+2为x2
则x+2=x/x-1 解得 x1=√2 x2= -√2(舍去)
所以PA=√2
则P(4+√2/2,-√6/2)