请问为什么两个矩阵都可以对角化,而且特征值相同,这两个矩阵就相似呢?
问题描述：
请问为什么两个矩阵都可以对角化,而且特征值相同,这两个矩阵就相似呢?
两个矩阵A,B可以对角化,特征值相同,不能说明其对应的对角矩阵就相同吧,比如A对应的对角矩阵对角线特征值是1,2,3,4；而B对应的对角矩阵的对角线特征值是1,3,2,4；那AB怎么相似呢?是不是我哪里理解有误?
答
矩阵特征值是特征方程解出来的根,如果题目没有要求,而且不对应特征向量的话,特征根是不存在顺序的.1,2,3,4,和1,3,2,4,没有区别,即使你相似对角化成这两个矩阵,后一个矩阵也可以用初等变换,对换2,3行,变成1的对角阵,这样两个矩阵还是相似的.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。只要是一个方阵A，不必要对称，应当先求特征值和特征向量，如果特征向量线性无关（如果特征向量对应的特征值不一样必线性无关），则必然可以相似于对角阵，而且对角上的元素肯定是特征值。实对称矩阵矩阵的特点是，实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的，因此必线性无关。实对称方阵一定可以相似对角化