小车恒功率启动时间,会微分方程的来
问题描述：
小车恒功率启动时间,会微分方程的来
小车在平直公路上行驶.已知小车质量为m,以恒定功率P,从静止状态启动.受到的阻力恒为f.求小车达到最大速度时的位移大小及时间
答
设后轮牵引力（其实质也是摩擦力）为F.则P=F·v.设t=0时为初始状态.则t→0时,v→0.则F→∞.此后F逐渐减小,直到F的大小与f相等后,做匀速直线运动.则最大速度为v(max)=P/f.
在t时刻加速度为a=(F-f)/m.
则dv/dt=a=(F-f)/m=((P/v)-f)/m=(P/m)·(1/v) - f/m
令A1=P/m,A2=f/m,则
dv/dt=A1/v - A2
→v·dv=(A1-A2·v)dt
(v/(A1-A2·v) )dv=dt
积分得
∫(v/(A1-A2·v) ) dv = ∫dt
→t=(-1/A2) ∫( (-A2·v)/(A1-A2·v) ) dv
=(-1/A2) ∫( (A1-A2·v -A1)/(A1-A2·v) ) dv
=(-1/A2) ∫( 1 - A1/(A1-A2·v) ) dv
=(-1/A2)[v| - A1·∫ 1/(A1-A2·v) dv]
=(-1/A2)[P/f + (A1/A2)·∫ 1/(A1-A2·v) d(A1-A2·v)]
=(-1/A2)[P/f + (A1/A2)·ln(A1-A2·v) | ]
=(-1/A2)[P/f + (A1/A2)·(ln(A1-A2·P/f) - ln(A1) ) ]
将A1=P/m,A2=f/m代入,即可求出时间t.