讨论方程 x^2=xsin x+cos x 的根的个数.
问题描述：
讨论方程 x^2=xsin x+cos x 的根的个数.
答
讨论方程 x²=xsin x+cos x 的根的个数.
设f(x)=x²-xsinx-cosx=0
令f '(x)=2x-sinx-xcosx+sinx=2x-xcosx=x(2-cosx)=0
因为2-cosx≠0,故必有x=0,即f(x)只有唯一的一个驻点x=0；当x0；
因此x=0是f(x)的极小点,极小值f(x)=f(0)=-1；当x→±∞时f(x)→+∞.故原方程会有两个根.x=0时f(x)获得最小值-1；极值点(0，-1)在x轴的下面，且在y轴上；这个极值点是唯一的。当x→±∞时f(x)→+∞，即x沿x轴向x轴的两端移动时，y→+∞，那就是说函数的图像在y轴的左右两边穿过x轴伸向无穷大；图像与x轴的交点的横坐标就是方程的根，有两处穿过x轴，就是有两个根。从函数的奇偶性也可得出此结论。f(-x)=(-x)²-(-x)sin(-x)-cos(-x)=x²-sinx-cosx=f(x)，因此f(x)时偶函数。