给定椭圆x2/b2+y2/a2=1(a>B>0),求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以他们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应四边形的顶点坐标,
问题描述：
给定椭圆x2/b2+y2/a2=1(a>B>0),求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以他们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应四边形的顶点坐标,
答
由对称性 我们只需要研究椭圆与双曲线在第一象限的交点,设为P(s,t)
则有s^2/b^2+t^2/a^2=1>=2√[(s^2 * t^2)/(a^2 * b^2 )=2st/ab
st面积S=4st下面证明S可以取到2ab,即P取(b/√2,a/√2)时,双曲线存在
设为y^2/A^2-x^2/B^2=1,A^2+B^2=c^2=a^2-b^2
且由P在双曲线上,有a^2/2A^2-b^2/2B^2=1
联立 有A^2=B^2=(a^2-b^2)/2,此时双曲线存在
所以面积S可以取到最大值2ab,此时有双曲线方程为y^2/[(a^2-b^2)/2]-x^2/[(a^2-b^2)/2]=1
四边形顶点坐标为(b/√2,a/√2),(-b/√2,a/√2),(-b/√2,-a/√2),(b/√2,-a/√2)