将函数f（x）=ex展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）
问题描述：
将函数f（x）=ex展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）
答
∵f（x）=ex，
∴f′（x）=f″（x）=fn（x）=ex
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=fn（0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|fn（x）|=|ex|≤er（n=1，2）
所以函数ex可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
因为r＞0是任意的，
所以，函数ex在区间（-∞，+∞）上可展成幂级数，
特别的它的马克劳林级数是ex＝1+x+
+x2 2!
+…+x3 3!
．xn n!