定义在区间(0,正无穷)上的函数f(x)满足对任意实数x.y有f(x^y)=yf(x)

问题描述:

定义在区间(0,正无穷)上的函数f(x)满足对任意实数x.y有f(x^y)=yf(x)
若a>b>c>1,且a,b,c成等差数列,求证f(a)f(c)

先证明 
若a>b>c>1,且a,b,c成等差数列,求证f(a)f(c)0,则 a= b+d,c = b-d
再设 a=b^p,c = b^q,
由a>b>c>1知p,q都是正数,且p!=q 
f(a)f(c) = f(b^p)f(b^q) = pq f(b)^2
现在证明 pq 0
所以
f(x)为增函数 设 a=b^p, c = b^q,啥意思把 a、c 记成 b的指数形式这是为利用 f(x^y)=yf(x) 这个已知条件做准备