如图,已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且OC=2.

问题描述:

如图,已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且OC=2.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D,已知P为x轴上的一个动点,且△PBD为直角三角形,求点P的坐标.

(1)一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B,则可求得A(-4,0)、B(0,2).二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且OC=2,所以有
b^2=4ac
-b/2a=I2I
c=2
解得a=1/2,b=-2,c=2或a=1/2,b=2,c=2,
所以二次函数的解析式是y=x^2/2-2x+2或y=x^2/2+2x+2
(2)当二次函数的解析式是y=x^2/2+2x+2时,一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D为坐标为(-3,1/2),设P(X,0),DB^2=45/4,分三种情况讨论:
第一当DP垂直DB于D时,(3-X)^2+1/4+45/4=X^2+4,解得X=-11/4,P点坐标为(-11/4,0);
第二当DP垂直DB于P时,(3-X)^2+1/4+X^2+4=45/4,解得X=(3+根号5)/2或(3-根号5)/2,P点坐标为[(3+根号5)/2,0]或[(3+根号5)/2,0];
第三当DP垂直DB于B时,45/4+X^2+4=(X-3)^2+1/4,解得X=1,P点坐标为(1,0);
当二次函数的解析式是y=x^2/2-2x+2时,一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D为坐标为(5,9/2),设P(X,0),DB^2=125/4,分三种情况讨论:
第一当DP垂直DB于D时,(5+X)^2+81/4+125/4=X^2+4,解得X=29/4,P点坐标为(29/4,0);
第二当DP垂直DB于P时,(5-X)^2+81/4+X^2+4=125/4,无解;
第三当DP垂直DB于B时,125/4+X^2+4=(X-5)^2+81/4,解得X=1,P点坐标为(1,0);