已知数列{an}满足a1=1an=2an−1+1,n≥2,求{an}的通项公式及其前n项和Sn.
问题描述:
已知数列{an}满足
,求{an}的通项公式及其前n项和Sn.
a1=1
an=2an−1+1,n≥2
答
∵当n≥2时,an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1)
=2,∴数列{an+1}为等比数列,且公比为2,
an+1
an−1+1
又∵a1=1,∴a1+1=2
∴an+1=2n,an=2n-1
Sn=21-1+22-1+…+2n-1=
-n=2n+1-2-n2(1−2n) 1−2