已知数列{an}满足a1=1an=2an−1+1,n≥2,求{an}的通项公式及其前n项和Sn.

问题描述:

已知数列{an}满足

a1=1
an=2an−1+1,n≥2
,求{an}的通项公式及其前n项和Sn

∵当n≥2时,an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1)

an+1
an−1+1
=2,∴数列{an+1}为等比数列,且公比为2,
又∵a1=1,∴a1+1=2
∴an+1=2n,an=2n-1
Sn=21-1+22-1+…+2n-1=
2(1−2n)
1−2
-n=2n+1-2-n