如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为23，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的任一点（点C、D均不与A、B重合）． （1）求∠ACB； （2）求△ABD的最大面积．
问题描述：
如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2
，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的
3
任一点（点C、D均不与A、B重合）．
（1）求∠ACB；
（2）求△ABD的最大面积．
答
（1）连接OA、OB，作OE⊥AB于E，
∵OA=OB，∴AE=BE，
Rt△AOE中，OA=2，AE=
，
3
所以sin∠AOE=
，
3
2
∴∠AOE=60°，（2分）
∠AOB=2∠AOE=120°，
又∠ADB=
∠AOB，1 2
∴∠ADB=60°，（3分）
又四边形ACBD为圆内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
从而有∠ACB=180°-∠ADB=120°；（5分）
（2）作DF⊥AB，垂足为F，则：S△ABD=
×21 2
DF，（6分）
3
显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，
从而S△ABD取得最大值，
此时DF=DO+OF=2+2sin30°=3，s△ABD=
×61 2
，
3
即△ABD的最大面积是3
． （7分）
3