求证:在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍.如图所示.设直角三角形ABC中,∠C=90°,AM,BN分别是BC,AC边上的中线,且AM2+BN2=AB2+MN2. 求证:4(AM2+BN2)=5AB2.

问题描述:

求证:在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍.如图所示.设直角三角形ABC中,∠C=90°,AM,BN分别是BC,AC边上的中线,且AM2+BN2=AB2+MN2
求证:4(AM2+BN2)=5AB2

证明:连接MN,线段MN称为△ABC的中位线,
∴MN∥AB且MN=

1
2
AB
AM2+BN2=AB2+MN2
所以4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2
由于M,N是BC,AC的中点,
所以MN=
1
2
AB.
所以4MN2=AB2
∴4(AM2+BN2)=5AB2