半径为2的圆O中,弦AB,CD垂直相交于P点,连接OP,若OP=1,求证:AC^2+BD^2为定值

问题描述:

半径为2的圆O中,弦AB,CD垂直相交于P点,连接OP,若OP=1,求证:AC^2+BD^2为定值

如图:

作OF⊥AB于F,OE⊥CD 于E,连接OB,OD,
在Rt⊿OFB和Rt⊿OED中,由勾股定理得,
FB²=OB²;-OF² …………………①  
ED²=OD²-OE²;…………………②
①+②得
FB²;+ED²;=OB²;+OD²;-(OF²;+OE²;) ……③
∵OE=FP
∴OF²;+OE²;=OF²;+FP²;=OP²=1;
由垂径定理得,
FB=1/2·AB,ED=1/2·CD
代入③得
(1/2·AB﹚²;+(1/2·CD﹚²;=R²;+R²;-1,
即AB²;+CD²;=8R²;-4;
=8×2²-4=28.