如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，P为AC上一点，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延长线于M，MN⊥AC于N，AQ=MN． （1）求证：AP=AM； （2）求证：PC=AN．
问题描述：
如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，P为AC上一点，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延长线于M，MN⊥AC于N，AQ=MN．
（1）求证：AP=AM；
（2）求证：PC=AN．
答
证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=∠ANM=90°，
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠PAQ=∠AMN，
∵PQ⊥AB MN⊥AC，
∴∠PQA=∠ANM=90°，
∴在△PQA与△ANM中，
，
∠PAQ＝∠AMN AQ＝MN ∠AQP＝∠ANM
∴△PQA≌△ANM（ASA）
∴AP=AM；
（2）由（1）知，△PQA≌△ANM，
∴AN=PQ AM=AP，
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分线的性质），
∴PC=AN．