某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室(如图所示),ABCD是一块边长为50m的正方形地皮,扇形CEF是运动场的一部分,其半径为40m,矩形AGHM就是拟建的健身室,其中G、M分别在AB和A

问题描述:

某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室(如图所示),ABCD是一块边长为50m的正方形地皮,扇形CEF是运动场的一部分,其半径为40m,矩形AGHM就是拟建的健身室,其中G、M分别在AB和AD上,设矩形AGHM的面积为S,∠HCF=θ,请将S表示为θ的函数,并指出当点H在何处时,该健身室的面积最大,最大面积是多少?

延长GH交CD于N,则NH=40sinθ,CN=40cosθ.
∴HM=ND=50-40cosθ.AM=50-40sinθ.
∴S=(50-40cosθ)(50-40sinθ)
=100[25-20(sinθ+cosθ)+16sinθcosθ],(0≤θ≤

π
2

t=sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)

sinθcosθ=
t2-1
2
,且t∈[1,
2
]

∴S=100[25-20t+8(t2-1)]
=800(t-
5
4
)2+450

又∵t∈[1,
2
]

∴当t=1时,S取最大值500.
此时,
2
sin(θ+
π
4
)=1

sin(θ+
π
4
)=
2
2

π
4
≤θ+
π
4
4

θ+
π
4
=
π
4
4

θ=0或θ=
π
2

答:当点H在
EF
的端点E或F处时,该健身室的面积最大,最大面积为500m2