某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室（如图所示），ABCD是一块边长为50m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和A
问题描述：
某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室（如图所示），ABCD是一块边长为50m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，设矩形AGHM的面积为S，∠HCF=θ，请将S表示为θ的函数，并指出当点H在何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？
答
延长GH交CD于N，则NH=40sinθ，CN=40cosθ．
∴HM=ND=50-40cosθ．AM=50-40sinθ．
∴S=（50-40cosθ）（50-40sinθ）
=100[25-20（sinθ+cosθ）+16sinθcosθ]，（0≤θ≤
）π 2
令t=sinθ+cosθ=
sin(θ+
2
)，π 4
则sinθcosθ=
，且t∈[1，
t2-1 2
]．
2
∴S=100[25-20t+8（t2-1）]
=800(t-
)2+450．5 4
又∵t∈[1，
]，
2
∴当t=1时，S取最大值500．
此时，
sin(θ+
2
)=1，π 4
∴sin(θ+
)=π 4
．
2
2
∵
≤θ+π 4
≤π 4
，3π 4
∴θ+
=π 4
或π 4
3π 4
即θ=0或θ=
．π 2
答：当点H在
的端点E或F处时，该健身室的面积最大，最大面积为500m2．EF