已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)的单调递减区间是(0,4),则k的值是 _ .

问题描述:

已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)的单调递减区间是(0,4),则k的值是 ___ .

对函数求导数,得f'(x)=3kx2+6(k-1)x
∵函数的单调递减区间是(0,4),
∴f'(x)<0的解集是(0,4),
∵k>0,
∴3kx2+6(k-1)x<0等价于3kx(x-4)<0,
得6(k-1)=-12k,解之得k=

1
3

故答案为:
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3