在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：y1=-x2+2x． （1）将抛物线C1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2，求抛物线C2的顶点P的坐标及它的解析式． （2）如果x轴上有一动点

答

（1）依题意抛物线：y₁=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴其顶点坐标为（1，1）
当把C₁向右平移2个单位，再向上平移1个单位时，
抛物线C₂的顶点P的坐标为（3，2）
∴C₂的解析式为y₂=-（x-3）²+2；
（2）符合条件的N点存在．
如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，
∴∠POA=∠BMN，作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B
∴∠PAO=∠MBN=90°，
∴△POA≌△NMB（AAS），
∴PA=BN，
∵点P的坐标为（3，2），
∴NB=PA=2，
∵点N在抛物线y₁、y₂上，且P点为y₁、y₂的最高点
∴符合条件的N点只能在x轴下方，
当点N在C₁上时，y1=-2，即-2=-（x-1）²+1，
解得：x=1±

3

，
∴N₁（1+

3

，-2），N₂（1-

3

，-2）；
当点N在C₂上时，y2=-2，即=-（x-3）²+2=-2，
解得：x=5或1，
∴N₃（5，-2），N₄（1，-2），
∴满足条件的点N有4个，分别是N₁（1+

3

，-2）、N₂（1-

3

，-2）、N₃（5，-2）、N₄（1，-2）．