已知定理“若大于3的三个质数a、b、c满足关系式2a+5b=c,则a+b+c是整数n的倍数”.试问:这个定理中的整数n的最大可能值是多少?请证明你的结论.

问题描述:

已知定理“若大于3的三个质数a、b、c满足关系式2a+5b=c,则a+b+c是整数n的倍数”.试问:这个定理中的整数n的最大可能值是多少?请证明你的结论.

证明:∵a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b),
显然,3|a+b+c,
若设a、b被3整除后的余数分别为ra、rb,则ra≠0,rb≠0.
若ra≠rb,则ra=2,rb=1或ra=1,rb=2,
则2a+5b=2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3),或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)=3(2P+5q+4),
即2a+5b为合数与已知c为质数矛盾.
∴只有ra=rb,则ra=rb=1或ra=rb=2.
于是a+2b必是3的倍数,从而a+b+c是9的倍数.
a、b为大于3的质数,依题意,
取a=11,b=5,则2a+5b=2×11十5×5=47,
a+b+c=11+5+47=63,
取a=13,b=7,则2a+5b=2×13十5×7=61,
a+b+c=13+7+61=81,
而(63,81)=9,故9为最大可能值.