在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径⊙O交BC于点E，D为AC中点，EF⊥AB于点F．过A作AK∥DE交⊙O于K，交BC于H，交EF于G． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）已知EG=2GF，OG=2，求△AKB的面积．
问题描述：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径⊙O交BC于点E，D为AC中点，EF⊥AB于点F．过A作AK∥DE交⊙O于K，交BC于H，交EF于G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知EG=2GF，OG=2，求△AKB的面积．
答
（1）证明：连接AE，OE，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠CEA=180°-∠AEB=180°-90°=90°，
∵点D位AC中点，
∴DE=AD，
∴∠DAE=∠DEA，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠OEA+∠DEA=∠OAE+∠DAE，
∴∠OED=∠BAC=90°，
∴DE⊥OE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵∠BAC=90°，EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵DE∥AK，
∴四边形ADEG是平行四边形，
∵AD=ED，
∴四边形ADEG是菱形，
∴AG=EG=2GF，
∴在Rt△AGF中，sin∠GAF=
=GF AG
，1 2
∴∠GAF=30°，
∵DE∥AK，OE⊥DE，
∴AK⊥OE，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∵OE=OA，
∴△OEA是等边三角形，
∵点G在AK上，AK⊥OE，
∴EG=OG=2，
∴AG=EG=2，
∴AF=2×cos30°=
，
3
∴OA=2AF=2
，
3
∴AB=2OA=4
，
3
∴AK=4
×cos30°=6，BK=AB•sin30°=2
3
，
3
∴S△ABK=
AK•BK=61 2
．
3