A为nXn矩阵,已知特征值λ1,λ2……λn ,找出一个公式去求det(A),并证明

问题描述:

A为nXn矩阵,已知特征值λ1,λ2……λn ,找出一个公式去求det(A),并证明

特征值为方程
|A-λI|=0
的根
直接计算左边n阶行列式对于λ的常数项,可知其为det(A)
而由韦达定理,该常数项应等于λ1λ2...λn
因此det(A)=λ1λ2...λn

由特征值的定义,特征值就是特征多项式 |A-λE| = 0 的根.
即有 |A-λE| = (λ1-λ)(λ2-λ)……(λn-λ) .
比较等式两边的常数项 (也就是 λ=0 时) 即得
|A| = λ1*λ2*…*λn