M是抛物线y^2=x上一点,N是圆(x+1)^2+(y-4)^2=1关于直线x-y+1=0的对称曲线上一点.求MN的最小值.
问题描述：
M是抛物线y^2=x上一点,N是圆(x+1)^2+(y-4)^2=1关于直线x-y+1=0的对称曲线上一点.求MN的最小值.
答
直线 x-y+1=0可改写为y=x+1或x=y-1,
所以,圆(x+1)^2+(y-4)^2=1关于直线x-y+1=0的对称曲线为圆 (x-3)^2+y^2=1,
其圆心为 P（3,0）,半径为 1.
设M（y^2,y)是抛物线 y^2=x上任一点,
则 |MP|^2=(y^2-3)^2+y^2=y^4-5y^2+9=(y^2-5/2)^2+11/4,
所以,当 y^2=5/2时,|MP|最小值为 √11/2.
又由于 √11/2>1,
因此,MN的最小值为 √11/2-1=(√11-2)/2.