已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是f(x)的导函数.若对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,则实数x的取值范围是_.
问题描述:
已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是f(x)的导函数.若对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,则实数x的取值范围是______.
答
由题意g(x)=3x2-ax+3a-5
令φ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1
对-1≤a≤1,恒有g(x)<0,即φ(a)<0
∴
即
φ(1)<0 φ(−1)<0
3x2−x−2<0 3x2+x−8<0
解得−
<x<12 3
故实数x的取值范围是(−
,1),2 3
故答案为:(−
,1)2 3