已知a 的四次方+b的四次方+ c的四次方+d的四次方=4abcd.以a,b,c,d为边的四边形是菱形吗?
问题描述：
已知a 的四次方+b的四次方+ c的四次方+d的四次方=4abcd.以a,b,c,d为边的四边形是菱形吗?
答
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4-2(ab)^2+b^4+c^4-2(cd)^2+d^4+2(ab)^2-4abcd+2(cd)^2=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
a^2-b^2=0,c^2-d^2=0,ab-cd=0
由于题目中说明a,b,c,d为四边形的四条边边长,所以a,b,c,d都为正数,a=-b是不成立的,所以不用分类讨论
所以a=b,c=d,ab=cd
ab=cd
a^2=c^2
a=c
所以a=b=c=d
这个四边形为菱形