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设函数f（x）为奇函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=1/3x3+x2-2ax（a为实数）（1）若f（x）在x=-1处有极值，求a的值；（2）求x∈（0，2]时，f（x）的解析式；（3）若f（x）在[3/2，2]上为增函数，求a

分类: 作业答案 • 2021-12-30 12:43:52

问题描述：

设函数f（x）为奇函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=

1

3

x³+x²-2ax（a为实数）
（1）若f（x）在x=-1处有极值，求a的值；
（2）求x∈（0，2]时，f（x）的解析式；
（3）若f（x）在[

3

2

，2]上为增函数，求a的取值范围．

答

（1）∵f（x）=

1

3

x³+x²-2ax，
∴f′（x）=x²+2x-2a，
∵f（x）在x=-1处有极值，
∴f′（-1）=1-2-2a=0，
∴a=-

1

2

；
（2）设x∈（0，2]，则-x∈[-2，0），
∴f（-x）=-

1

3

x³+x²+2ax，
∵函数f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=

1

3

x³-x²-2ax；
（3）∵f（x）在[

3

2

，2]上为增函数，
∴f′（x）=x²+2x-2a≥0在[

3

2

，2]上恒成立，
∴2a≤x²+2x在[

3

2

，2]上恒成立，
∴2a≤

9

4

+3，
∴a≤

21

8

．