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在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a，b，c，其中c=10，且cosA/cosB=b/a=4/3．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP的面积．

分类: 作业答案 • 2021-12-29 16:51:05
问题描述：

在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a，b，c，其中c=10，且

cosA
cosB
=
b
a
=
4
3
．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP的面积．

答

（1）证明：根据正弦定理得，

cosA
cosB
=
sinB
sinA
．
整理为：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以A=B，或者A+B=
π
2
．
由于
b
a
=
4
3
，所以A≠B，所以A+B=
π
2
，即C=
π
2
，
故△ABC是直角三角形．
（2）由（1）可得：a=6，b=8．
在Rt△ABC中，sin∠CAB=
BC
AB
=
3
5
，cos∠CAB=
4
5

sin∠PAC=sin（60°-∠CAB）
=sin60°cos∠CAB-cos60°sin∠CAB
=
3
2
×
4
5
-
1
2
×
3
5
=
1
10
(4
3
-3)．
连接PB，在Rt△APB中，AP=AB•cos∠PAB=5．
所以四边形ABCP的面积
S四边形△ABCP=S△ABC+S△PAC
=
1
2
ab+
1
2
AP•AC•sin∠PAC
=24+
1
2
×5×8×
1
10
(4
3
-3)=18+8
3
．

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