已知数列{an}满足a1=1，an+1=Sn+（n+1）（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和， （1）用an表示an+1； （2）证明数列{an+1}是等比数列； （3）求an和Sn．
问题描述：
已知数列{an}满足a1=1，an+1=Sn+（n+1）（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和，
（1）用an表示an+1；
（2）证明数列{an+1}是等比数列；
（3）求an和Sn．
答
（1）由an+1=Sn+（n+1）①
得出n≥2时
an=Sn-1+n ②
①-②得出
an+1-an=an+1
整理an+1=2an+1．（n≥2）
由在①中令n=1得出a2=a1+2=3，满足a2=2a1+1
所以an+1=2an+1．（n≥1）
（2）在an+1=2an+1两边同时加上1得出
an+1+1=2（an+1）
根据等比数列的定义，得出数列{an+1}是以2为公比的等比数列
（3）由（2）数列{an+1} 的通项公式为an+1=2•2 n-1=2n
所以an=2n-1，
Sn=（21-1）+（22-1）+…（2n-1）
=
-n2(1−2n) 1−2
=2 n+1-2-n．