已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0.问是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得弦AB,以AB为直径的圆经过原点.
问题描述：
已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0.问是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得弦AB,以AB为直径的圆经过原点.
存在.
设存在直线l,设其方程为y=x+b,
由x^2-2x+4y-4=0
y=x+b
消去y得
2x^2+2(b+1)x+b^2+4b-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-b-1,x1x2=(b^2+4b-4)/2
y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+(x1+x2)b+b^2=(b^2+2b-4 )/2
由题意得OA⊥OB,
把b=1,－4－分别代入方程内,
均有△>0,∴b=1,－4满足条件.
∴存在满足条件的直线x-y+1=0,x-y-4=0
请解释一下为什么y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+(x1+x2)b+b^2=(b^2+2b-4 )/2
答
整理得：(x-1)2+(y+2)2=9又因为AB过圆心,所以-2=K+b所以当b=-3时,弦AB存在