在△ABC中,A、B、C是三角形的三内角,a、b、c是三内角对应的三边,已知A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列. (Ⅰ)求角B的大小; (Ⅱ)若b=3+7,求a+2c的值.

问题描述:

在△ABC中,A、B、C是三角形的三内角,a、b、c是三内角对应的三边,已知A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若b=3+

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,求a+2c的值.

(1)依题意A+C=2B,且A+B+C=π,故B=

π
3
.…(6分)
(2)由题意b2=ac,又由余弦定理知b2a2+c2−2accosB=a2+c2−2accos
π
3
,…(9分)
即b2=a2+c2-ac,故a2+c2-ac=ac,∴(a-c)2=0,∴a=c.
代入b2=ac得a=b=c.∴a+2c=3b=9+3
7
.…(12分)