如图，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90度．O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E．设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G． （1）∠BFG与∠BGF是否相等？为什么？ （2）求由DG、GE和弧ED所
问题描述：
如图，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90度．O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E．设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G．
（1）∠BFG与∠BGF是否相等？为什么？
（2）求由DG、GE和弧ED所围成图形的面积．（阴影部分）
答
（1）∠BFG=∠BGF；理由如下：
连OD，
∵OD=OF（⊙O的半径），
∴∠ODF=∠OFD；
∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC；
又∵∠C=90°，即GC⊥AC，∴OD∥GC，
∴∠BGF=∠ODF；
又∵∠BFG=∠OFD，
∴∠BFG=∠BGF．
（2）连OE，
∵⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E，
∴DC=CE，OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为正方形，
∵AO=BO=
AB=1 2
1 2
=3
AC2+BC2
，
2
∴OD=
BC=1 2
×6=3，1 2
∵∠BFG=∠BGF，
∴BG=BF=OB-OF=3
-3；
2
从而CG=CB+BG=3+3
；
2
∴S阴影=S△DCG-S正方形ODCE+S扇形ODE
=S△DCG-（S正方形ODCE-S扇形ODE）
=
•3•（3+31 2
）-（32-
2
π•32）1 4
=
+9π 4
-9
2
2
．9 2