一道经典椭圆题 用极坐标做
问题描述：
一道经典椭圆题 用极坐标做
已知椭圆中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上的两点,且OA垂直OB．
（1）求证；1÷｜OA｜＾2＋1÷｜OB｜＾2为定值.
（2）求△AOB面积的最大值和最小值.
答
(1)把x^2/a^2+y^2/b^2=1转化为r^2cos^2/a^2+r^2sin^2/b^2=1
整理为b^2cos^2+a^2sin^2=a^2b^2/r^2
因为cos^2(x+派/2)=sin^2(x),sin^2(x+派/2)=cos^2(x)
所以有b^2cos^2+a^2sin^2=a^2b^2/r1^2
b^2sin^2+a^2cos^2=a^2b^2/r2^2
相加得到a^2+b^2=a^2b^2(1/r1^2+1/r2^2)
整理得到,1/r1^2+1/r2^2=1/a^2+1/b^2为定值
(2)S=(1/2)r1*r2可转化为求(1/r1)*(1/r2)的最值问题
不妨假设1/r1=m,1/r2=n,1/a^2+1/b^2=t
有m^2+n^2=t,求mn最值
y=mn=m根号(t-m^2)
y^2=-(m^2-t/2)^2+t^2/4,由于m取值范围是(1/b,1/a)
所以y^2最大值是t^2/4,最小值是1/(a^2b^2)
所以S的最大值是ab/2,最小值是a^2b^2/(a^2+b^2)