已知双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,过F1分别作垂直于x轴的直线及斜率为k的直线...
问题描述：
已知双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,过F1分别作垂直于x轴的直线及斜率为k的直线...
已知双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,过F1分别作垂直于x轴的直线及斜率为k的直线.它们与双曲线交于A.B及C,D.问是否存在着这样的k,使|AB|=|CD|?
答
弦长|AB| =(2b^2/a)/[1-e^2（cosθ）^2],
当双曲线a,b确定后,双曲线形状就已确定,从公式可看出,经过焦点的弦长只与弦和X轴的倾角有关,当θ=90°时,即垂直于焦距的弦是最短弦,
|AB|=2b^2/a是定值,所以不存在这样的k,使|CD|=|AB|.但是交点C,D不一定都在一条双曲线上,可以是C在左支，D在右支。那应该怎么看呢？垂直于焦距的弦是最短弦，其它都比它长，若要经过另一支，则必大于等于2a,若2b^2/a=2a，a=b,故此时特例，当是等轴双曲线时，k=0,可以得到|AB|=|CD|。|AB| =(2b^2/a)/[1-e^2（cosθ）^2]跟这个√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 是一样的吗？ 我们没学过上面那个－ －，能解释一下吗？不好意思一样的。用椭圆第二定义证明。