如图,在正方形ABCD中,△PBC、△QCD是两个等边三角形,PB与DQ交于M,BP与CQ交于E,CP与DQ交于F.求证:PM=QM.

问题描述:

如图,在正方形ABCD中,△PBC、△QCD是两个等边三角形,PB与DQ交于M,BP与CQ交于E,CP与DQ交于F.求证:PM=QM.

证明:在正方形ABCD中,△PBC、△QCD都是等边三角形,
∴∠QCB=∠PCD=30°.(2分)
又∵BC=CD,
∴在△EBC与△FDC中,

∠ECB=∠FCD
BC=CD
∠EBC=∠FDC

∴△EBC≌△FDC(ASA),(4分)
∴CE=CF.
又∵CQ=CD=BC=CP,
∴PF=QE,(5分)
又∵∠P=∠Q,
∠QME=∠PMF,
∴△MEQ≌△MFP,
∴PM=QM.(7分)