已知函数f(x)=1/2x2-lnx． （I）求f（x）的单调区间； （II）若g(x)=-2/3x3+x2，证明当x＞1时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方．
问题描述：
已知函数f(x)=
x2-lnx．1 2
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若g(x)=-
x3+x2，证明当x＞1时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方．2 3
答
⊙⊙
故f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）
（II）令h(x)=f(x)-g(x)=
x3-
x2-lnx
则h′(x)=2x2-x-
=
=
∵x＞1
∴h'（x）＞0
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增
当x＞1时，f（x）的图象恒在g（x）图象的上方．
（I）∵f(x)=
x2-lnx的定义域为(0，+∞)，1 2
又f(x)可得：f′(x)=x-
=1 x
x2-1 x
令f'（x）=0，则x=1
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
⊙
| x | ⊙（0，1） | ⊙1 | ⊙（1，+∞） |
| f'（x） | ⊙- | ⊙0 | ⊙+ |
| f（x） | ⊙递减 | ⊙极小值 | ⊙递增 |
（II）令h(x)=f(x)-g(x)=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
则h′(x)=2x2-x-
| 1 |
| x |
| 2x3-x2-1 |
| x |
| (x-1)(2x2+x+1) |
| x |
∵x＞1
∴h'（x）＞0
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增
|
当x＞1时，f（x）的图象恒在g（x）图象的上方．