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已知函数f（x）满足f(x)＝x3+f ′(2/3)x2−x+C（其中f ′(2/3)为f（x）在点x＝2/3处的导数，C为常数）． （1）求f ′(2/3)的值； （2）求函数f（x）的单调区间．

分类: 作业答案 • 2021-12-29 10:16:02
问题描述：

已知函数f（x）满足f(x)＝x3+f ′(

2
3
)x2−x+C（其中f ′(
2
3
)为f（x）在点x＝
2
3
处的导数，C为常数）．
（1）求f ′(
2
3
)的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

答

（1）由f(x)＝x3+f ′(

2
3
)x2−x+C，得f ′(x)＝3x2+2f ′(
2
3
)x−1．
取x＝
2
3
，得f ′(
2
3
)＝3×(
2
3
)2+2f ′(
2
3
)×(
2
3
)−1，
解之，得f ′(
2
3
)＝−1，…（6分）
（2）因为f（x）=x3-x2-x+C．
从而f ′(x)＝3x2−2x−1＝3(x+
1
3
)(x−1)，列表如下：
x (−∞，−
1
3
)		 −
1
3
 (−
1
3
，1)		 1 （1，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗
∴f（x）的单调递增区间是(−∞ ， −
1
3
)，（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是(−
1
3
 ， 1)．…（12分）

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