已知函数f(x)=2xlnx-1 (1)求函数f(x)的最小值及函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程
问题描述:
已知函数f(x)=2xlnx-1 (1)求函数f(x)的最小值及函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程
(2)若不等式f(x)≤3x^2+2ax恒成立,求实数a的取值范围
答
(1)求导,f‘(x)=2+2lnx,令f‘(x)=0得x=1\e
0<x<1\e递减,1\e<x,递增
最小值f (1\e)=-2\e-1
k=f‘(1)=2,f(1)=-1
切线:y+1=2(x-1)
(2)移项,a>(2xlnx-1-3x²)\2x=lnx-1\2x-3x\2
令F(x)=lnx-1\2x-3x\2
F'(x)=1\x+1\2x²-3\2=(2x+1-3x²)\2x²,令F'(x)=0得x=1
0<x<1,递增,1<x,递减
最大值F(1)=-2
a>-2