已知函数f(x)＝loga1−mxx−1(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称． （1）求m的值； （2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明．
问题描述：
已知函数f(x)＝loga
(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称．1−mx x−1
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明．
答
（1）∵函数f(x)＝loga
(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称1−mx x−1
∴函数为奇函数，满足f（-x）+f（x）=0，即loga
+loga1+mx −x−1
=0对定义域内任意x都成立，1−mx x−1
即loga(
•1+mx −x−1
)=loga1，1−mx x−1
=1对定义域内任意x都成立，1−m2x2
1−x2
∴m2=1，得m=±1，经检验m=1不符合题意舍去，所以m的值为-1；
（2）当0＜a＜1时，f（x）是（1，+∞）的增函数；当a＞1时，f（x）是（1，+∞）的减函数，证明如下
由（1）得f(x)＝loga
，（x＞1）1+x x−1
设t=
，再令1＜x1＜x2，则t1=1+x
x −1
，t2=1+x1
x1−1
，1+x2
x2−1
可得t1-t2=
-1+x1
x1−1
=1+x2
x2−1
＞0，有t1＞t2，2(x2−x1)
(x1−1)(x2−1)
∴函数t=
是（1，+∞）上的减函数．1+x
x−1
根据复合函数单调性法则，得：当0＜a＜1时，f（x）是（1，+∞）的增函数；
当a＞1时，f（x）是（1，+∞）的减函数．