设抛物线y2=2px(p>0)上一点(4,t)到焦点的距离为5.1,求p和t.
问题描述：
设抛物线y2=2px(p>0)上一点(4,t)到焦点的距离为5.1,求p和t.
2,若直线y=2x+b被抛物线截得的弦长为3根号5,求b
3,求抛物线上的动点m到定点A（m,0）的最短距离
答
设抛物线y²=2px(p>0)上一点(4,t)到焦点的距离为5. (1),求p和t；(2),若直线y=2x+b被抛物线截得的弦长为3√5,求b；(3),求抛物线上的动点M到定点A（m,0）的最短距离
(1) 焦点(p/2,0)；点(4,t)到焦点的距离=√[(4-P/2)²+t²]=5,即有：
(4-p/2)²+t²=25.(1)
t²=8p.(2)
(2)代入(1)式并化简得p²+16p-36=(p-2)(p+18)=0,故得p=2,t=4.
(2).将p=2代入抛物线方程得 y²=4x.(3)
再将y=2x+b代入(3)式得：(2x+b)²=4x；展开化简得4x²+4(b-1)x+b²=0.
设直线与抛物线的交点为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则；
弦长︱AB︱=(√5)√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=(√5)√[(b-1)²-b²]=(√5)√(-2b+1)=3√5
化简得(1-2b)²=9,即有4b²-4b-8=0,b²-b-2=(b-2)(b+1)=0,故b₁=2(舍去)；b₂=-1.
(如果b=2,则直线y=2x+2与抛物线无交点,因为方程4x²+4x+4=0的判别式Δ