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设函数f（x）=1/2-1/2x+1 （1）证明函数f（x）是奇函数；（2）证明函数f（x）在（-∞，+∞）内是增函数；（3）求函数f（x）在[1，2]上的值域．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 18:35:58

问题描述：

设函数f（x）=

1

2

-

1

2x+1

（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明函数f（x）在（-∞，+∞）内是增函数；
（3）求函数f（x）在[1，2]上的值域．

答

（1）函数f（x）的定义域为R，
∵f（x）=

1

2

-

1

2x+1

=

2x+1−2

2(2x+1)

＝

2x−1

2(2x+1)

，
则f（-x）=

2−x−1

2(2−x+1)

=-

2x−1

2(2x−1)

=-f（x），
即函数f（x）是奇函数；
（2）∵y=2^x+1是增函数，
∴y=-

1

2x+1

是增函数，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

在（-∞，+∞）内是增函数；
（3）∵f（x）=

1

2

-

1

2x+1

在（-∞，+∞）内是增函数，
∴函数f（x）在[1，2]上也是增函数，
即f（1）≤f（x）≤f（2），
即

1

6

≤f（x）≤

3

10

，
即此时函数的值域为[

1

6

，

3

10

]．